01 · מה המישור אומר?
אפשר לחזות שינוי בגובה
שיפוע אחד אומר מה קורה כשזזים לאורך x, והשני כשזזים לאורך y. מישור הקירוב משלב את שניהם כדי להעריך את השינוי בכל תזוזה קטנה.
חשבון אינפיניטסימלי 2 · פונקציות בשני משתנים
דיפרנציאביליות
בתלת־ממד
דמיינו שהגרף הוא נוף תלת־ממדי. אם מתקרבים מספיק לנקודה דיפרנציאבילית, פיסת הנוף סביבה נראית כמו מישור אחד, גם כשמגיעים אליה מכיוונים שונים.
02 · מה נחשב לקירוב טוב?
השגיאה קטנה ביחס למרחק
מודדים את הפער האנכי בין הגרף למישור ומחלקים במרחק שזזנו על הקרקע. דיפרנציאביליות אומרת שהמנה שואפת לאפס בכל מסלול התקרבות.
|R| / r → 003 · מה אפשר להסיק?
רציפות ומישור משיק
הפונקציה רציפה בנקודה, ויש מישור יחיד שנותן את הקירוב מסדר ראשון. אפשר להשתמש בו כדי לחשב בקירוב ערכים סמוכים, כמו בתרגיל 04.
ההגדרה המדויקת והסימונים
יהי P = (a,b) נקודה פנימית בתחום, ותהי (h,k) תזוזה ממנה. הפונקציה דיפרנציאבילית ב־P אם קיימים A,B כך שמתקיים הגבול הבא. במקרה זה A = fₓ(P) ו־B = fᵧ(P).
T(a+h,b+k) = f(a,b) + Ah + Bk
R = f(a+h,b+k) − T(a+h,b+k)
r = √(h²+k²)
lim(h,k) → (0,0) |R| / r = 0
תרגול מודרך
מהשאלה אל המשטח
בחרו תרגיל, פתחו את שלבי הפתרון והשוו בין הגרף למישור.
פתרון בשלבים
המחשה תלת־ממדית
המשטח ומישור הקירוב
גררו לסיבוב המשטח · אפשר גם להשתמש במקשי החצים
- משטח f
- מישור משיק
- פער אנכי |R|
- מסלול על הקרקע
גובה המשטח
גובה המישור
גודל הפער |R|
פער חלקי מרחק |R| / r
לפני המבחן
מה לבדוק כשמקבלים פונקציה?
- 01
מסמנים את הנקודה ובודקים מה ידוע בסביבה שלה
אם מבקשים רציפות, בודקים שהגבול של הפונקציה שווה לערכה בנקודה. אם היא אינה רציפה שם, היא גם אינה דיפרנציאבילית שם.
- 02
מחשבים את שתי הנגזרות החלקיות
בפונקציה שמוגדרת לפי מקרים משתמשים בהגדרת הנגזרת לאורך כל ציר דרך הנקודה. אם שתי החלקיות קיימות, הן קובעות את המישור היחיד שיכול להתאים.
- 03
מוכיחים שהמישור באמת מקרב
כותבים R = f − T ומחלקים ב־r. להוכחה מחפשים חסם ששואף לאפס בכל מסלול. להפרכה מספיק מסלול אחד שבו המנה אינה שואפת לאפס.